Clase 4. La atenuación de los efectos de los terremotos con la distancia

Introducción

Las primeras mediciones realizadas sobre la "fuerza" de los terremotos se limitaron a la descripción de sus efectos, lo que condujo a la confección de escalas de intensidades macrosísmicas, en las cuales los efectos se clasifican en "grados", y abarcan desde la sola detección por instrumentos sensibles hasta fenómenos del tipo de cambios en el relieve, con un énfasis mayor en como son percibidos los terremotos por el hombre, y que daños producen sobre las edificaciones. Ya en el siglo XX se generalizó el uso de las escalas de intensidades, como la de Rossi-Forel, la de Mercalli Modificada, la JMA, y finalmente la MSK. La segunda todavía se continúa usando en los EEUU y otros países, la tercera en Japón y la última desde mediados de los años 60 se comenzó a usar de manera creciente en todo el mundo, pero mayormente en Europa. Los científicos europeos han continuado realizando un gran esfuerzo en este sentido, y en 1998 fue aprobada por la Comisión Sismológica Europea una nueva escala, desarrollada a partir de la MSK, denominada ahora "Escala Macrosísmica Europea", donde se hace un fuerte hincapié en los efectos de los terremotos sobre diferentes estilos constructivos en uso en Europa. Los interesados pueden consultar este documento en:

< http://www.gfz-potsdam.de/pb5/pb53/projekt/ems/index.html>

La forma de proceder en los estudios de este tipo, prácticamente no ha cambiado en su esencia: una vez ocurrido un terremoto, se estudian sus efectos en toda el área de percepción del mismo, se evalúa la intensidad en cada punto para los que se dispone de datos macrosísmicos y se representan estos valores en un mapa. Sobre ese mapa se trazan las isolíneas de igual valor de la intensidad, que se denominan isosistas (Fig. 1). A partir de ellos se realizaron las primeras determinaciones de la atenuación de las intensidades, que inicialmente se hacían en función de la diferencia entre la intensidad en un punto y la intensidad en el epicentro. Paralelamente a esto, desde los inicios de la sismicidad instrumental (fines del siglo XIX), los sismólogos comenzaron a reportar las amplitudes medidas en los sismogramas de los terremotos fuertes. Sólo a mediados del siglo XX fue introducida por Richter el concepto de magnitud, que le dio sentido físico a (y permitió unificar) las determinaciones de la "fuerza" de los terremotos, a la vez que situaba una nueva dimensión en los estudios de la atenuación de los efectos de los terremotos.

El desarrollo de la sismología instrumental, con la introducción de los acelerómetros, diseñados para registrar la aceleración durante los terremotos fuertes, permitió un desarrollo de las aplicaciones ingenieriles de la sismología, ya que en términos de aceleración se analizan las cargas en los sistemas constructivos. Comenzaron a multiplicarse las mediciones de aceleración, y para ciertas zonas fue posible comenzar a obtener relaciones de atenuación de este parámetro. Sin embargo, salvo raras excepciones, los sistemas de observación no son lo suficientemente densos para analizar el comportamiento espacial de este parámetro en caso de terremotos fuertes. Finalmente, en los últimos tiempos se han desarrollado las mediciones espectrales de los efectos de terremotos (espectros de Fourier, espectros de respuesta, intensidad de Arias, etc.) y comienzan a aparecer en la literatura fórmulas de atenuación (y trabajos de estimación de la la peligrosidad sísmica) para estos parámetros.

Campo macrosísmico. Atenuación de intensidades. Modelos de isosistas.

Se entiende por campo macrosísmico de un terremoto a la distribución espacial de las intensidades sísmicas provocadas por él. La determinación de la intensidad sísmica I, que en un punto dado se produce por la ocurrencia de un terremoto de magnitud M, depende de la distancia que separa el foco del punto en cuestión y de la forma en que se comporta la atenuación de la intensidad sísmica en esta región, esto es I=I(r,M). El modelo más simple de atenuación de las intensidades corresponde a las isosistas circulares, que indican una atenuación uniforme de la intensidad. Sin embargo, las isosistas reales de los terremotos muy pocas veces son circulares; por ello son cada vez más frecuentes los estudios de la variación azimutal de la atenuación de las intensidades y los intentos de su modelación. Las isosistas circulares se modelan fundamentalmente mediante fórmulas del tipo:

(1)

(2)

La segunda es conocida como fórmula de Blake o Blake-Sebalin, y la primera como fórmula de Kovesligethy. Por su simplicidad, tradicionalmente ha sido preferida la fórmula (2), ya que permite despejar directamente el valor de la distancia hipocentral r y hacer transformaciones algebraicas en cualquier fórmula donde se incluya. Dicha fórmula conduce a áreas de perceptibilidad muy grandes, las cuales son características de zonas de plataforma continental, pero en regiones donde la atenuación es muy fuerte la fórmula (1) es mucho mejor. De hecho, la fórmula (2) es un caso particular de la (1). Partiendo de un modelo simple de radiación de ondas en el foco y de una relación lineal entre la intensidad y el logaritmo de la densidad de energía de las ondas sísmicas, Riznichenko encontró una dependencia entre los parámetros de las fórmulas (1 y 2) y las características de la propagación de las ondas: dispersión geométrica y absorción, o dispersión efectiva. El coeficiente k de (1) es el relacionado con la dispersión geométrica y el p con la absorción, mientras que el coeficiente s de (2) es el relacionado con la dispersión efectiva.

Como ya se dijo, el campo macrosísmico de los terremotos no es en general circular, lo que depende de diversos factores, como son el mecanismo focal, la profundidad y la geología regional. Es muy común encontrar que las isosistas adopten una forma elíptica, lo que ha conducido a su modelación en forma de elipses concéntricas. Las isosistas elípticas más comunes son aquellas que utilizan alguna de las fórmulas (1 ó 2) con coeficientes determinados en dos direcciones:

• paralela a la orientación de las estructuras

• perpendicular a ellas

de tal forma, cada coeficiente de esas ecuaciones se desdobla en dos, por ejemplo .

Es común también el uso de modelos que relacionan el área de las isosistas con la magnitud mediante relaciones logarítmico-lineales del tipo

(3)

donde los coeficientes se obtienen para cada valor de intensidad. Para este enfoque el modelo más elaborado corresponde al del grupo de Keilis-Borok que considera isosistas elípticas caracterizadas por una ecuación del tipo:

(4)

donde Q_I(M) es el área de la isosista y es una magnitud aleatoria que considera la dispersión de los datos del logaritmo de las áreas. En este modelo se dan además como parámetros la orientación del eje mayor de las elipses y la relación de las longitudes de los ejes principales. El tratamiento estadístico permite estimar la dispersión del ajuste del modelo a terremotos particulares.

Entre las fórmulas de atenuación de las intensidades están las que obvian la magnitud y en su lugar la intensidad I_o en el epicentro: I=I(r,I_o) (de hecho, las primeras fórmulas de atenuación de la intensidad fueron de ese tipo). Dichas expresiones se pueden deducir de (1 y 2) mediante su evaluación en r=h.

(5)

(6)

Despejando de la primera (b.M+d) y de la segunda (b.M+c) y sustituyendo en (1 y 2) se obtiene:

(7)

(8)

Por otra parte, son también comunes las fórmulas que relacionan el área de perceptibilidad con la magnitud. En el caso de fórmulas del tipo (3) la obtención es trivial, basta fijar el valor de I que se considera como umbral de perceptibilidad (I_p). Para fórmulas del tipo (2) se puede calcular explícitamente; en el caso de isosistas circulares A=pr², y si D»r (lo cual es permisible asumir para D>3h) se tiene la aproximación:

(9)

y por tanto

(10)

En la práctica las isosistas no son circulares, por lo que D será el radio medio, y para utilizar la fórmula (10) se determinará el área de perceptibilidad como el área del contorno cerrado I³I_p, cualquiera que sea su forma.

Fórmulas del tipo (10) pueden deducirse igualmente para modelos de isosistas de cualquier forma, lo que variarán las expresiones analíticas, tanto de la aproximación de lg(r) (fórmula 9), como de la magnitud (fórmula 10). Para campos macrosísmicos que obedezcan a la ley (1) no es posible obtener dependencias explícitas M=M(A,I_p).

En la literatura suelen encontrarse fórmulas para determinar magnitud o profundidad de terremotos sobre la base de un mapa de isosistas. En ellas a veces se pide medir el área o el radio medio de 2 isosistas consecutivas. Igualmente, se encuentran fórmulas para determinar el valor de uno de los coeficientes de atenuación basados en el mismo principio. Todas esas fórmulas son deducidas de expresiones del tipo (1) y (2) mediante la evaluación para distintos valores de intensidad y la eliminación de coeficientes o variables no buscadas por sustitución directa de unas en otras. Se debe señalar que aunque existe la tendencia a usar fórmulas del tipo (1) y (2) indiscriminadamente, el valor de sus parámetros tiene una fuerte dependencia regional, y deben ser probadas diversas fórmulas hasta encontrar aquella que mejor se adapte a los datos que se posean, o de ser posible, debe obtenerse una dependencia particular para la región de estudio.

Modelo de isosistas elípticas usado en el programa SACUDIDA

A continuación se presenta el modelo de isosistas elípticas que está incluido en el programa SACUDIDA, que recibirán los alumnos para realizar prácticas durante el curso. En él, la forma de las isosistas se determina por la relación entre los semiejes de las elipses A/B (A-semieje mayor, B-semieje menor). La distancia desde el centro hasta un punto en el contorno de la elipse se determina a través de la fórmula, obtenida a partir de las ecuaciones paramétricas de la elipse:

(11)

donde D es la distancia, a es el ángulo entre esa dirección y el semieje mayor de la elipse, mientras que q es el ángulo polar, dado por: . El valor de intensidad que corresponde a un terremoto de magnitud M se calcula por la fórmula:

(12)

donde r_e, denominado radio efectivo, viene dado por

(13)

siendo h es la profundidad y D_e es la distancia epicentral en la dirección del radio efectivo. La introducción del concepto de radio efectivo es necesaria porque la elipse no tiene un radio constante, y es necesario determinar cuál será seleccionado para aplicar la fórmula (12). En principio éste debe variar entre el semieje menor B y el mayor A. Un valor intermedio entre ambos es el radio medio, el cual para una elipse se obtiene de la fórmula:

(14)

donde y K(m) es una integral elíptica de primer tipo cuyos valores se encuentran tabulados. Para las Antillas Mayores se han obtenido buenos ajustes en dos casos, D_e=A y para los parámetros de la fórmula (12): b=1.5, k=2.63, p=0.0087 y d=2.5, que fueron obtenidos por Fedotov y Shumilina para isosistas circulares en Kamchatka. Este valor de b=1.5 es muy común en todas las relaciones de atenuación obtenidas para diferentes zonas de la antigua URSS.

Un fenómeno observado algunas veces en el comportamiento del campo macrosísmico, es cierta tendencia a la disminución de la excentricidad (o grado de "alargamiento") de las elipses a medida que la distancia al epicentro aumenta (o sea, las elipses tienden a convertirse en círculos a medida que nos alejamos del epicentro). Esto puede ser expresado como una disminución del valor del cociente A/B en función de I_o-I_i de la forma:

(15)

y para una fórmula de campo macrosísmico del tipo (4) se obtiene

(16)

donde es el radio efectivo de la isosista con I=I_i. De esta forma el modelo se define por:

• Parámetros de la fórmula (12).

• Profundidad de los focos.

• Relación A/B entre los semiejes de las elipses para la intensidad I_o.

• Dirección de medición del radio efectivo.

• Orientación del semieje mayor con relación a las coordenadas geográficas.

• Parámetro h de disminución de la excentricidad en función de I_o-I_i.

Con excepción de los parámetros de la fórmula (12), que habitualmente se consideran comunes a toda la región de estudio, los demás se determinan por separado para cada zona fuente en particular. Este modelo tiene la ventaja de permitir una amplia variabilidad de combinaciones dependiendo del valor del cociente A/B, la dirección de validez de la ecuación de atenuación y de los coeficientes de la misma.

Atenuación de parámetros del movimiento del suelo

Para otros parámetros diferentes de la intensidad no existen estudios de variaciones azimutales de la atenuación, y el campo de los mismos se representa por isolíneas circulares. Existe una tendencia bastante generalizada a describir estos campos por fórmulas del tipo

(17)

siendo X aceleración, velocidad, desplazamiento, pseudoaceleración espectral, etc. Sin embargo, no es muy común que para estos parámetros el parámetro r corresponda a la distancia hipocentral, sino a la epicentral incrementada en una cantidad fija (r=D+R_o). Según Abrahamson y Litehiser, R_o puede ser también una función exponencial de M: {R_o=exp(q.M)}. Este tipo de fórmula, a diferencia de las de intensidad, no aparece siempre expresada en la forma logarítmica lineal (1), sino que es común la forma exponencial:

(18)

donde a veces r es tomado como distancia epicentral y a veces como hipocentral. Debe señalarse que en este caso hay muchas mas variaciones en la forma de medir la distancia que entra en la fórmula de atenuación (Fig. 2). Se debe señalar la gran diferencia entre las mediciones de un mismo parámetro para un terremoto en diferentes estaciones, lo que se debe en primera instancia a la influencia de la posición relativa de las estaciones con respecto al patrón de radiación del terremoto en cuestión. En la Fig. 3 se presentan los registros de velocidad obtenidos en dos estaciones vecinas para el terremoto de Landers de 1992, en la cual el efecto de direccionalidad es evidente. Otro factor que tiene una gran influencia sobre los parámetros del movimiento del terreno es el tipo de suelo donde se registra la señal. Convencionalmente existe una tendencia a dividir las observaciones en dos tipos, sobre roca y sobre suelo, siendo las amplitudes en el segundo caso mucho mayores, y su variabilidad es grande de un tipo de roca a otra y de un tipo de suelo a otro. Por ello, cuando las mediciones efectuadas sobre registros reales se sitúan en un gráfico presentan una gran dispersión, y por tanto, una fórmula de atenuación sólo refleja características medias. También, al igual que en el caso de la intensidad, dichas fórmulas tienen un acusado carácter regional, y cuando se realiza un trabajo de estimación de la peligrosidad sísmica hay que tener mucho cuidado con la relación que se selecciona, pues se pueden obtener resultados completamente erróneos (Fig.4). La escuela norteamericana ha desarrollado grandemente este tipo de relaciones. En la referencia que se presenta al final de la conferencia, se encuentran fórmulas de atenuación para diferentes parámetros, incluidos algunos espectrales. En ellos se consideran fórmulas que tienen incluso más parámetros a determinar que las más complejas aquí presentadas.

Debe señalarse que los parámetros de las fórmulas de atenuación en general se determinan por análisis de regresión. Para ello se pueden usar distintos métodos, desde los más simples (método de los mínimos cuadrados por ejemplo) hasta los más complejos (a veces diseñados por los propios autores de los trabajos de estudio de la atenuación). Algo común a todos ellos es la necesidad de que la muestra de datos que se emplee sea representativa para el fenómeno que se analiza. Por ello antes de usar una fórmula en particular debe analizarse varios factores, como son el rango de validez, y el error con que se han determinado los parámetros de la regresión. A ello se une el carácter regional de estas fórmulas mencionado inicialmente.

Fórmulas de atenuación incluidas en el programa SACUDIDA

A continuación se presenta un grupo de fórmulas de atenuación que están incluidas en el programa SACUDIDA, que si bien no corresponden a los resultados mas recientes, sirven para realizar un análisis de la influencia del uso de diversas relaciones de este tipo sobre los resultados finales de un estimado de peligrosidad sísmica. Muchas de ellas deben ser utilizadas en el trabajo práctico a realizar con ese programa.

Expresiones del tipo (1) fueron obtenidas por Joyner y Boore en 1981:

(19)

(20)

p = 0 para un 50 % de probabilidad de no excederse

= 1 para un 84% de probabilidad ídem

s = 1 para suelos

= 0 para rocas

Hay veces que los datos de atenuación de los parámetros del movimiento del suelo no permiten obtener una fórmula simple del tipo (17 ó 18), en cuyo caso se dan expresiones complejas, o simplemente no se da una fórmula explícita. Ejemplo del primer problema es el caso del mapa de regionalización sísmica de la URSS de 1978, donde se consideraron dos curvas de atenuación para aceleración (a) y velocidad (v), formada por dos rectas intersectantes

(21)

(22)

Ejemplo del segundo problema son las curvas de atenuación de la aceleración de Schnabel y Seed de 1973, usadas en los primeros trabajos de estimación de la peligrosidad sísmica de los EE.UU, las cuales no tienen forma explícita y se daban tabuladas.

Diferentes autores han estudiado la relación entre los parámetros del movimiento del suelo y la intensidad. El caso mas simple corresponde a relaciones lineales del tipo:

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(26)

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obtenidas por Trifunac y Brady en 1975. En este caso, se pueden aprovechar los estudios de la variación azimutal de las intensidades para estimar la atenuación de los parámetros del movimiento del suelo. No obstante, debe señalarse que el uso de este tipo de relación no es muy recomendable, ya que están sujetas a un amplio margen de error.

El problema se complica cuando la relación con la intensidad también es función de la distancia y la magnitud

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(30)

Las unidades de las fórmulas anteriores son: [d_v,d_h]-mm; [v_v,v_h,v]-cm/seg; [a_v,a_h,a]-cm/seg², con excepción de la fórmula (20), donde [a_h]=%g.

Otra forma de correlacionar la intensidad con los dichos parámetros es cuando entra a considerarse la duración de las oscilaciones. Expresiones que combinan parámetros del movimiento del terreno, duración e intensidad han sido usados en la antigua URSS:

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existiendo también fórmulas especificas de variación de la duración de las oscilaciones en función de distancia y magnitud:

(32)

donde s=(0 para suelos medios, 1 para suelos friables y -1 para rocas). En estas fórmulas D es el ancho del impulso en segundos.

Referencias bibliográficas de los gráficos que no corresponden a trabajos del autor:

Número especial de la revista "Seismological Research Letters" [vol. 68, No. 1, Jan/Feb 1997] dedicado íntegramente a las fórmulas de atenuación de los parámetros del movimiento del suelo:

• Abrahamson, N.A.; Shedlock, K.M.: Overview. pp. 9-23 (Fig. 2)

• Somerville, P.G; Smith, N.F.; Graves, R.W.; Abrahamson, N.A.: Modification of empirical ground motion attenuation relations to include the amplitudeand duration effects of rupture directivity, pp. 199-222 (Fig. 3).

Se recomienda consultar la revista en su totalidad para obtener una visión mas general del desarrollo alcanzado por este tipo de estudio.

Nota: En la conferencia anterior fue omitida la referencia a algunas figuras. Estas están agrupadas en la Fig. 2, y la referencia es:

Dzhibladze, E. A; Dzhidzheishbili, P.O. (1976): Sismicidad de la zona de unión de Crimea con el Cáucaso (en ruso). En: Investigaciones Geofísicas, Tbilisi, Metsniereba, pp. 76-90.

Trabajo práctico:

1. ¿Que es campo macrosísmico?

2. Busque algunos mapas de isosistas de terremotos ocurridos en su país. ¿Que tipo de modelo de isosistas usaría para describirlo (circular o elíptico)?

3. Analice el mapa de isosistas de la figura (1). Pruebe a determinar el parámetro A/B que le correspondería a un modelo de isosistas elípticas.

4. Prepare un gráfico (en escala log-log, ver fig. 4) de la atenuación de la aceleración usando las fórmulas (20) y (21). Use "r" o "r'" como eje "x", "a" como eje "y", y calcule las curvas para M=6 y M=7. Nota: Recuerde que (20) da directamente el valor en fracción de "g", pero en el caso de (21) es en cm/seg², por lo que debe dividir el resultado por el valor de "g" [978 cm/seg²].

Fig. 1. Ejemplo de mapa de isosistas

Fig. 2. Ejemplos de diferentes formas de medir la distancia en los estudios de atenuación de intensidades y de otros parámetros del movimiento del suelo. La línea continua representa la superficie del terreno, la de trazos horizontal la posición en profundidad de la zona fuente. El triángulo representa la estación, el círculo el epicentro. r_hypo es la distancia hipocentral, r_seis es la distancia al punto del foco que está a la profundidad de la zona fuente y r_rup es la distancia mínima al foco. Tomado de Abrahamson y Shedlock (1997).

Fig. 3. Ejemplo de registros de un terremoto en diferentes estaciones que muestra el efecto de direccionalidad de la radiación, y ejemplifica la fuerte dispersión que presentan las relaciones de atenuación de los parámetros del movimiento del suelo. En este caso la velocidad en una estación es el triplo mayor que en la otra, mientras que la duración de las oscilaciones es casi 1/3 la de la otra estación. Tomado de Somerville et al. (1997)

Fig. 4. Ejemplo de comparación de diferentes curvas de atenuación de la aceleración. Se considera un solo valor de magnitud y se superponen las curvas obtenidas por diferentes autores bajo diversas condiciones. Los casos que dicen "with sd" no corresponden al valor medio <a>, si no a la suma de este el valor con la dispersión estándar ?_a que le corresponde: <a> + ?_a.